1. Поезд длиной 18 м проехал мимо столба за 9 с. За какое время он проедет мост длиной 36 м?

​

Ответ: За 27 с.

​

Решение. Здесь нужно нарисовать картинку: мост, по краям и по центру моста столбы. Тогда окажется, что поезду нужно проехать мимо трёх столбов, то есть затратить 3 · 9 = 27 с. Второе решение. Поезд едет со скоростью 2 метра в секунду. Передняя точка поезда проедет мост за 36/2 = 18 секунд. Но поезд еще должен съехать с моста, то есть его конец должен проехать еще 18 метров, на это уйдет 9 секунд. Итого получаем 27 секунд.

 

 

 

2. Как погрузить 21 бочку, из которых 7 полны кваса, 7 пусты, а 7 полупусты, на 3 машины так, чтобы на машинах было поровну бочек и кваса?

​

Ответ: Например так: на первую и вторую машину грузим по 3 полных бочки, по 1 полупустой и по 3 пустых. А на третью — 1 полную, 5 полупустых и 1 пустую.

​

Решение. Чтобы найти ответ, полезно заметить, что всего кваса у нас 10,5 бочек, то есть на каждой машине должно быть по 3,5.

 

 

 

3. Про группу из пяти человек известно, что Алёша на 1 год старше Алексеева, Боря на 2 года старше Борисова, Вася на 3 года старше Васильева, Гриша на 4 года старше Григорьева, а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев. Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?

​

Ответ: Дмитриев старше Димы на 10 лет.

​

Решение. Сумма возрастов Алёши, Бори, Васи, Гриши и Димы равна сумме возрастов Алексеева, Борисова, Васильева, Григорьева и Дмитриева. Значит, Дмитриев старше Димы на 1 + 2 + 3 + 4 = 10 лет.

 

 

 

4. Юра шёл по прямой дороге от одной остановки к другой. Пройдя треть пути, он оглянулся и увидел вдали приближающийся автобус. Известно, что к какой бы остановке ни побежал Юра, он достигнет её одновременно с автобусом. Найдите скорость автобуса, если Юра бегает со скоростью 7 км/ч.

​

Ответ: 21 км/ч.

​

Решение. Так как Петя прошёл треть пути, то расстояние до остановки впереди в два раза больше, чем до остановки позади. Пусть Петя побежал до остановки, которая впереди. Тогда в тот момент, когда он пробежит половину пути, автобус окажется у остановки позади. За оставшееся время Петя пробежит треть расстояния между остановками, а автобус проедет его целиком. Значит автобус едет в три раза быстрее, то есть со скоростью 21 км/ч.

 

 

 

5. Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме а) (3 балла) углового кубика; б) (4 балла) центрального кубика?

​

Ответ: а) Может; б) Нет.

​

 а) Чтобы рисовать путь мышки в кубике, удобно мысленно разделить куб на три квадратных слоя (нижний, средний, верхний) и рисовать путь мышки в каждом слое отдельно. На рисунке изображён способ, при котором мышка съест всё, кроме одного углового кубика.

​

б) Раскрасим единичные кубики в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. На рисунке изображена раскраска каждого слоя: так легче подсчитать общее число кубиков каждого цвета. Видим, что при нашей раскраске есть 14 чёрных и 13 белых кубиков. При этом центральный кубик — белого цвета. Значит мышке надо съесть 14 чёрных и 12 белых кубиков. Но если мышка будет переходить от кубика к кубику только через общую грань этих кубиков, цвета кубиков на её пути будут чередоваться. Тогда количества съеденных ею белых и чёрных кубиков будут либо одинаковыми (если первый и последний кубики в её пути разного цвета), либо различающимися на 1 (если первый и последний кубики одного цвета). У нас же количества чёрных и белых кубиков различаются на 2. Значит, мышка не сможет съесть все кубики, кроме центрального, соблюдая условия задачи.