Задача 1. Лёня умеет умножать числа на 7, Глеб прибавлять 3, Саша делить на 4, Андрей вычитать 5. В каком порядке им нужно выполнять свои операции (каждую ровно 1 раз), чтобы получить из числа 8 число 30?

​

Ответ: (8 : 4 + 3) * 7-5.    Это единственное возможное решение.

 

 

​

​

 

Задача 2. Маша написала на доске трёхзначное число, а Вера написала рядом такое же число, но перепутала две последние цифры местами. После этого Полина сложила полученные числа и получила четырёхзначную сумму, первые три цифры которой 195. Какова последняя цифра этой суммы? (Ответ нужно обосновать.)

 

Ответ: 4.

 

Решение. Пусть Маша написала число 100x + 10y + z. Тогда Вера написала число 100x + 10z + y, и сумма этих чисел равна 200x + 11y + 11z. При x 6 8 это выражение не превышает 1798, а значит, начинаться на 195 не может. Таким образом, x = 9. Тогда 11(y + z) трёхзначное число, начинающееся на 15. Из трёхзначных чисел, начинающихся на 15, на 11 делится только 154, значит, последняя цифра суммы 4.

​

Машей могли быть написаны числа 959, 968, 977, 986 или  995.

 

​

​

​

 

Задача 3. Вася и Петя живут в горах и любят ходить друг к другу в гости. При этом в гору они поднимаются со скоростью 3 км/ч, а с горы спускаются со скоростью 6 км/ч (горизонтальных участков дороги нет). Вася посчитал, что до Пети он идёт 2 часа 30 минут, а обратно 3 часа 30 минут. Какое расстояние между домами Васи и Пети?

 

Ответ: 12 км.

 

Решение. Дорога от Пети до Васи и обратно занимает 6 часов, при этом, так как в гору идти в два раза медленнее, чем под гору, на все подъёмы ребята тратят в два раза больше времени, чем на спуски.

 

Таким образом, если идти от Пети до Васи и обратно, то на спуски будет потрачено 2 часа, а на подъёмы 4 часа, то есть длина подобного маршрута равна (6 * 2 + 4 * 3) = 24 км

​

Следовательно, расстояние от Пети до Васи равно 12 км.