В школьной программе по алгебре с 7 класса начинается изучение функций: в 7 классе изучаются линейные функции, их свойства и графики, а в 8 – обратные пропорциональные, квадратичные функции и y=√х. Однако к концу 9 класса у учащихся не формируется система знаний по данной теме. Между тем итоговая аттестация в 9-м классе предполагает до 30% заданий по теме «Функции». Данный проект поможет обобщить и закрепить материал, связанный с функциями.
Проблема проекта: обобщить знания по теме «Функция», представить в удобном для практического применения формате, освоить графические редакторы для построения графиков функций.
Объект: различные виды функций
Методы: поиск, сбор и обработка информации по теме; практическая работа
Цель проекта: расширение и систематизация знаний о функции, изучение практического применения в окружающем мире, подготовка к ОГЭ
Задачи проекта:
-
Обобщить и систематизировать знания по теме
-
Проанализировать задания ОГЭ и ЕГЭ, в которых применяются знания о функции
-
Создать справочник / электронный справочник по теме
-
Научиться строить графики в математической программе GeoGebra; использовать графический редактор для преобразования графиков функций
Продукт проекта: справочник / электронный справочник
Аннотация проекта (для линейной функции): в данном проекте могут рассматриваться определение линейной функции, ее свойства, график, геометрический смысл коэффициентов b и k, частные случаи линейной функции и их графики, взаимное расположение прямых, построение и чтение графиков, преобразования графиков.
Организация: на первом занятии учащиеся собирают всю информацию по теме. Затем класс делится на три группы. Одна группа делает набросок справочного материала, вторая знакомится с программой GeoGebra, третья анализирует задания ОГЭ и ЕГЭ, в которых применяются знания о линейной функции.
На следующем занятии редактируют справочный материал, решают задания по данной теме, предлагаемые на ОГЭ, строят графики, используя графический редактор.
1. Изучите, какие уравнения называют Диофантовы уравнения.
2. На примере следующих уравнений познакомьтесь с одним из способов решения:приведение к квадратным относительно какой-либо переменной
А) Решите уравнение в простых числах х²-7х-144 = у²-25у
Б) Решите уравнение в целых числах: х+у = х²-ху+у²
В) Решите уравнение в целых числах: 5х²+5у² + 8ху+2у-2х +2=0
3. Выполните поиск и обзор методов решения таких уравнений:
-
способ перебора вариантов;
-
применение алгоритма Евклида;
-
представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;
-
разложения на множители;
-
решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;
-
метод остатков;
-
метод бесконечного спуска.
4. Подробно изучите один из методов. Подберите или составьте соответствующие уравнения. Предложите решить их одноклассникам. Разберите решения.
А) Решите уравнение в простых числах х²-7х-144 = у²-25у
Решение: Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим у = х + 9 или у = 16 – х.
Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).
Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем
2 < х < 16, 2 < у < 16.
С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3)
Б) Решите уравнение в целых числах: х+у = х²-ху+у²
Решение: Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:
x² – (y + 1)x + y² – y = 0.
Дискриминант этого уравнения равен –3y² + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.
Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
В) Решите уравнение в целых числах: 5х²+5у² + 8ху+2у-2х +2=0
Решение: Запишем уравнение в виде квадратного относительно переменной х:
5x² + (8y-2)x + 5y² + 2y + 2 = 0
D = -36у² -72у-36
Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда дискриминантэтого уравнения равен нулю,
т.е. при у = - 1.
Если у = -1,то х = 1.
Ответ: (1; — 1).