Решите задачи
Задача 1: Квадраты на клетчатой бумаге
Построим несколько квадратов с вершинами в узлах сетки и найдем их площади. Пусть сторона одного квадратика сетки равна 1.
«Прямые» квадраты ->
Их площадь найти легко: это квадраты длин их сторон, а стороны равны целому числу клеток. Площади прямых квадратов — это квадраты целых чисел: 1, 4, 9, 16, 25 и т. д.
«Косые» квадраты: ->
Как найти площадь «косого» квадрата? Впишем наш «косой» квадрат в «прямой».
Чтобы найти площадь S «косого» квадрата, надо из площади прямого квадрата вычесть четыре площади закрашенных прямоугольных треугольников, т. е. 2ab. Эти треугольники одинаковые.
А теперь передвинем прямоугольные треугольники внутри большого квадрата так, чтобы получилось два «прямых» квадрата, как показано на рис. 2.
Площадь одного квадрата равна a^2, а второго — b^2. Сумма их площадей как раз равна площади «косого» квадрата, потому что это площадь большого «прямого» квадрата без тех же четырех прямоугольных треугольников.
Значит, S = a^2 + b^2.
Если сторону «косого» квадрата обозначить через c, то его площадь S = c^2. Поэтому c^2 = a^2 + b^2. Так мы пришли к теореме Пифагора для закрашенных прямоугольных треугольников. Какими же числами может выражаться площадь «косого» квадрата с вершинами в узлах сетки? Это такие числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел. Например, 26=1+25; 13=4+9; 50=25+25.
А, например, квадрата с вершинами в узлах сетки и площадью, равной 31, не существует, потому что 31=1+30=4+27=16+15=25+6,
т. е. 31 не разбивается на сумму двух квадратов целых чисел.
Рис. 1
Рис. 2
Задача 2: Замечательные числа
Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же суммой цифр. Например, число 1 замечательное, потому что оно самое маленькое из чисел 1, 10, 100, 1000 и так далее. 1 — это первое замечательное число. Найдите второе замечательное число. Опишите все числа, у которых сумма цифр такая же. То же для третьего, десятого, 2010-го замечательного числа.
Найдите самое большое двузначное замечательное число. Какой у него номер?
Комментарий.
Можно последовательно выписывать числа 1, 2, 3 и т. д. и объединять их в семейства с одинаковой суммой. Выяснится, что все числа разбиваются на семейства, в каждом из которых сумма цифр одна и та же и равна номеру семейства.
Задача 3: Раскраски
Сколькими способами можно раскрасить шесть граней одинаковых кубиков шестью красками по одной на грани так, чтобы никакие два из получившихся раскрашенных кубиков не были одинаковыми (не переходили один в другой при каком-то вращении)?
Комментарий.
Задача имеет длинное «счетное» решение и короткое идейное. Чтобы изобрести второе, надо придумать такой способ раскрашивания, при котором разные последовательности действий приводят к разным раскраскам, а затем посчитать количество последовательностей. Например, можно зафиксировать порядок граней, а менять порядок цветов: в первый цвет закрасить любую грань, во второй — противоположную ей (5 вариантов), третий — любую из боковых, в четвертый — следующую за ней по часовой стрелке (3 варианта), в пятый — следующую (2 варианта), шестой — последнюю (1 вариант). Итого 5 3 2 1 = 30 вариантов. (Идея взята из работы семиклассницы.) Придумать такой способ можно, формулируя алгоритм, как понять, одинаковые или разные раскраски у двух данных кубиков.
С младшими детьми можно изготовить модели всех таких кубиков.